Question

某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为

2

3

．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．

Answer 1

分析：（1）比赛三局甲获胜的概率是：P₃=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

．
（2）再求出P₄和P₅，甲获胜的概率是：P₃+P₄+P₅=

64

81

．
（3）写出甲比赛次数的分布列，根据分布列求得甲比赛次数的数学期望是 EX．

解答：解：记甲n局获胜的概率为 P_n，n=3，4，5，
（1）比赛三局甲获胜的概率是：P₃=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

；
（2）比赛四局甲获胜的概率是：P₄=

C

2 3

(

2

3

)3 (

1

3

)=

8

27

；
比赛五局甲获胜的概率是：P₅=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)3=

16

81

；
甲获胜的概率是：P₃+P₄+P₅=

64

81

．
（3）记乙n局获胜的概率为 P_n′，n=3，4，5．
P₃′=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

，P₄′=

C

2 3

(

1

3

)3 (

2

3

)=

2

27

； P₅′=

C

2 4

(

1

3

)3(

2

3

)2=

8

81

；
故甲比赛次数的分布列为：

X	3	4	5
P（X）	P3+P3′	P4+P4′	P5+P5′

所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（

1

27

+

8

27

）+4（

8

27

+

2

27

）+5（

16

81

+

8

81

 ）=

107

27

．

点评：本题考查n次独立重复试验恰好发生k次得概率，离散型随机变量的分布列和数学期望，列出离散型随机变量的分布列，是解题的难点和关键．