Question

19．若当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，关于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 可令f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），则f（x）=（2x+1-2x）（$\frac{4}{2x}$+$\frac{1}{1-2x}$），展开后运用基本不等式可得最小值，再由不等式恒成立思想，只需m²+8m不大于f（x）的最小值，由二次不等式的解法可得范围．

解答 解：可令f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
则f（x）=（2x+1-2x）（$\frac{4}{2x}$+$\frac{1}{1-2x}$）
=5+$\frac{4（1-2x）}{2x}$+$\frac{2x}{1-2x}$≥5+2$\sqrt{\frac{4（1-2x）}{2x}•\frac{2x}{1-2x}}$
=5+4=9．
当且仅当$\frac{4（1-2x）}{2x}$=$\frac{2x}{1-2x}$，即x=$\frac{1}{3}$时，取得最小值9．
又关于x的不等式$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-2x}$≥m²+8m恒成立，
∴有9≥m²+8m，解得-9≤m≤1．
则实数m的取值范围是[-9，1]．

点评 本题主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题和易错题．