Question

【题目】设函数，.

（1）当时，函数，在处的切线互相垂直，求的值；

（2）当函数在定义域内不单调时，求证：；

（3）是否存在实数，使得对任意，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）1

【解析】分析：（1）求导得切线斜率为和，由垂直得斜率积为-1，从而得解；

（2），求导得，令，要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，利用二次方程根的分别即可得解；

（3）对恒成立，令，，令，存在，使得，即，则，取到最小值, 所以，即在区间内单调递增，从而得解.

详解：（1）当时，，则在处的斜率为，

又在处的斜率为，则，解得 .

（2）函数，

则 .

∵，∴，令，

要使函数在定义域内不单调，只需要在有非重根，

由于开口向上，且

只需要，得，

因为，所以，

故，当且仅当时取等号，命题得证 .

（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立，

即对恒成立 .

令，则，

令，则，

因为在上单调递增，，，且的图象在上不间断，

所以存在，使得，即，则，

所以当时，单调递减；当时，单调递增.

则取到最小值，

所以，即在区间内单调递增，

所以，

所以存在实数满足题意，且最大整数的值为1 .