Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（1）求数列{b_n}的通项公式和前n项和为S_n；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求证数列{a_n}（是等差数列，并求出其通项．

Answer 1

分析：（1））由b₁+b₃=5，b₁b₃=4．且数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列可得b₃=4，b₁=1，q=2，分别代入等比数列的通项公式，前n项和公式可求；
（2）由（1）可得a_n=n+2从而有a_n-a_n-1=n+2-（n+1）=1，根据等差数列的定义可得数列{a_n}是等差数列．

解答：解：（1）∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4．且数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列
∴b₃=4，b₁=1，q=2
由等比数列的通项公式可得，b_n=b₁q^n-1=2^n-1
由等比数列的前n项和公式可得，sn=

b1(1-qn)

1-q

=2n-1
（2）由（1）可得，a_n=log₂b_n+3=n+2
则a_n-a_n-1=n+2-（n+1）=1
∴数列{a_n}是以1为公差的等差数列，通项a_n=n+2

点评：（1）主要考查了等比数列的基本运算（2）要证明数列{a_n}为等差数列，利用定义法只需证：a_n-a_n-1=d（常数）