Question

（06年天津卷文）（14分）

       如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦

点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且

      

 

（I）求双曲线的方程；

（II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。

Answer 1

本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力。

解析：（I）根据题设条件，

       设点则、满足

             

       因解得，故

      

                     　

       利用得于是因此，所求双曲线方程为

             

      

（II）设点则直线的方程为

             

       于是、两点坐标满足　　　

       将①代入②得

             

       由已知，显然于是因为得

             

       同理，、两点坐标满足

             

       可解得

             

       所以，故直线DE垂直于轴。