Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，求a的最小值；
（III）若0＜n＜m，求证：

m-n

lnm-lnn

＜2m．

Answer 1

分析：（I）代入a的值，写出函数的解析式，对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的值，写出单调区间．
（II）根据函数无零点，得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立，得到函数在这个区间上没有零点，构造新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小值．
（III）要证明不等式成立，由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减，得到两个自变量的函数值之间的关系，整理出结果．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′(x)=1-

2

x

，（1分）
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．（3分）
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）（4分）
（II）因为f(x)＜0在区间(0，

1

2

)上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，
只要对任意的x∈(0，

1

2

)，f(x)＞0恒成立，
即对x∈(0，

1

2

)，a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．（6分）
令l(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈(0，

1

2

)，
则l(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，（7分）

再令m(x)=2lnx+ 2 x -2，x∈(0， 1 2 )， 则m′(x)=- 2 x2 + 2 x = -2(1-x) x2 ＜0，

故m(x)在(0，

1

2

)上为减函数，

于是m(x)＞m( 1 2 )=2-2ln2＞0， 从而，l(x)＞0，于是l(x)在(0， 1 2 )上为增函数，

所以l(x)＜l( 1 2 )=2-4ln2， 故要使a＞2- 2lnx x-1 恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞)，

综上，若函数f(x)在(0，

1

2

)上无零点，则a的最小值为2-4ln2．（9分）
（III）证明：由第（I）问可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上单调递减．
∵0＜

n

m

＜1，∴f(

n

m

)＞f(1)（12分）
∴(

n

m

-1)-2ln

n

m

＞0?

n-m

m

＞2(lnn-lnm)∴

m-n

m

＜2(lnm-lnn)，
即

m-n

lnm-lnn

＜2m（14分）

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查恒成立问题，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，本题解题的关键是最后一问，利用函数的单调性证明不等式．