Question

经过点A（-3，），倾斜角为α的直线l与圆x²+y²=25相交于B、C两点.

（1）求弦BC的长；

（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；

（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；

（4）当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程.

Answer 1

解：取AP=t(t为参数)(P为l上的动点)，

则l的参数方程为代入x²+y²=25,整理，得t²-3(2cosα+sinα)t-=0.

∵Δ=9(2cosα+sinα)²+55＞0恒成立，

∴方程必有两相异实根t₁,t₂,且t₁+t₂=3(2cosα+sinα),t₁·t₂=.

(1)|BC|=|t₁-t₂|=.

(2)∵A为BC中点，

∴t₁+t₂=0,即2cosα+sinα=0.

∴tanα=-2.故直线BC的方程为y+=-2(x+3),

即4x+2y+15=0.

(3)∵|BC|==8,

∴(2cosα+sinα)²=1.∴cosα=0或tanα=.

∴直线BC的方程是x=-3或3x+4y+15=0.

(4)∵BC的中点M对应的参数是t=(2cosα+sinα),

∴点M的轨迹方程为(0≤α≤π).

∴.

∴(x+)²+(y+)²=.