Question

曲线P₀，P₁，P₂，…，已知P₀所围成的图形是面积为1的等边三角形，P_k+1是对P_k进行如下操作得到的：将P_k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，3，…），记S_n为曲线P_k所围成图形面积．
①求数列{S_n}的通项公式；
②求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

①对P₀进行操作，可得P₀的每条边变成P₁的4条边，故P₁的边数为3×4；
同样，对P₁进行操作，P₁的每条边变成P₂的4条边，故P₂的边数为3×4²，从而得到P_n的边数为3×4ⁿ 
已知P₀的面积为S₀=1，比较P₁与P₀，可得P₁在P₀的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为

1

32

，而P₀有3条边，故S₁=S₀+3×

1

32

=1+

1

3

再比较P₂与P₁，可得P₂在P₁的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为

1

32

×

1

32

，而P₁有3×4条边，故S₂=S₁+3×4×

1

34

=1+

1

3

+

4

33

类似地有：S₃=S₂+3×4²×

1

36

=1+

1

3

+

4

33

+

42

35

∴S_n=1+

1

3

+

4

33

+

42

35

+…+

4n-1

32n-1

=1+

3

4

n

k=1

(

4

9

)k=

8

5

-

3

5

•(

4

9

)n（※）                          
下面用数学归纳法证明（※）式
当n=1时，由上面已知（※）式成立，
假设当n=k时，有S_k=

8

5

-

3

5

•(

4

9

)k，则当n=k+1时，可得第k+1次操作后，比较P_k+1与P_k，P_k+1在P_k的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为

1

32(k+1)

，而P_k有3×4^k条边．
故S_k+1=S_k+3×4^k×

1

32(k+1)

=

8

5

-

3

5

•(

4

9

)k+1
综上所述，对任何n∈N，（※）式成立．
②

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[

8

5

-

3

5

•(

4

9

)n]=

8

5