Question

（2008•黄冈模拟）已知f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a（x∈R）（a为常数）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（x）的最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

分析：利用倍角公式和两角和的正弦公式，对解析式化简，
（Ⅰ）由三角函数的周期公式求出函数的周期；
（Ⅱ）由正弦函数的递增区间得：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出x的范围再用区间表示；
（Ⅲ）由正弦函数的最值求出此函数的最值，再结合条件列出方程，求出a的值．

解答：解：由题意得，
f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1，
（Ⅰ）T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得，
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈z），
∴f（x）单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
（Ⅲ）∵f（x）_max=2+a+1=a+3，
f（x）_min=-2+a+1=a-1，
∴（a+3）+（a-1）=3，解得a=

1

2

，
则a的值是

1

2

．

点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握．