Question

已知函数f（x）=ax+

2

x

，且f（2）=-5
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件先求出a，然后根据奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义即可证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax+

2

x

，
由f（2）=-5，得2a+1=-5，
即a=-3，
所以f（x）=-3x+

2

x

，其定义域为{x|x≠0}．
又f（-x）+f（x）=[-3（-x）-

2

x

]+（-3x+

2

x

）=3x-

2

x

-3x+

2

x

=0，
所以函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）任取x₂＞x₁＞0，
则f（x₂）-f（x₁）=（-3x₂+

2

x2

）-（-3x₁+

2

x1

）=3（x₁-x₂）+（

2

x2

-

2

x1

）=（x₁-x₂）（3+

2

x1x2

）．
因为x₂＞x₁＞0，
所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以（x₁-x₂）（3+

2

x1x2

）＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．