Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，
（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．

解答：解：（Ⅰ）法一：曲线y=x²-6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有3²+（t-1）²=（2

2

）²+t²，解得t=1，故圆C的半径为

32+(t-1)2

=3，所以圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9．
法二：圆x²+y²+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x² -6x+1=0与x²+Dx+F=0是同一方程，故有有D=-6，F=1，E=-2
即圆方程为x²+y²-6x-2y+1=0
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组

x-y+a=0 (x-3) 2+(y-1) 2=9

，消去y，得到方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，由已知可得判别式△=56-16a-4a²＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

a2-2a+1

2

①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得a=-1，满足△=56-16a-4a²＞0．故a=-1．

点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．