Question

若函数f(x)=(a-1)2-2sin2x-2acosx(0≤x≤

π

2

)的最小值是-2，求实数a的值，并求出此时f（x）的最大值．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，即可用cosx表示f（x）；换元t=cosx，0≤x≤

π

2

则t∈[0，1]，问题转化为二次函数闭区间上的最小值问题，通过分类

a

2

＜ 0，0≤

a

2

≤1，

a

2

＞1，分别利用f（x）的最小值是-2，求实数a的值．

解答：解：函数f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx
=（a-1）²-2+cos²x-2acosx
=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．令t=cosx，则t∈[0，1]，
y=2(t-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，t∈[0，1]
①当

a

2

≤0，即a≤0时，ymin=(a-1)2-2=-2，故a=1（舍）
②当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，ymin=

a2

2

-2a-1=-2
解得a=2±

2

，取a=2-

2

，此时y_max=-1
③当

a

2

≥1，即a≥2时，ymin=a2-4a+1=-2
解得a=1（舍）或a=3，，此时y_max=2
综上，当a=2-

2

时y_max=-1；当a=3时y_max=2

点评：本题考查换元法，分类讨论的数学思想，二次函数闭区间上的最值的应用，考查转化思想，计算能力．