Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）的图象关于直线x =2对称．

（Ⅰ）证明：f（x+4）= f（x）；

（Ⅱ）当x∈（4,6）时，f（x）= ．讨论函数f（x）在区间（0，2）上的单调性．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）设点P（x，y）是函数y=f（x）图象上任意一点，因为函数f（x）的图象关于直线x=2对称，所以点Q（4-x，y）也在该函数图象上．

所以f（x）=f（4-x）． 

因为函数f（x）是偶函数，

所以f（-x）=f（x），所以f（-x）=f（4-x），所以f（x+4）= f（x）．

（Ⅱ）因为当x∈（4，6）时,f（x）=

当0<x<2时，4<x+4<6，

由（Ⅰ）知f（x） = f（x+4）= =

=

令0，得x=-3或x=l，因为0<x<2，所以x=1．

因为x∈（0，1）时，<0，x∈（1，2）时, >0，

所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）当4<x<6时, f（x）= ,

=

    令f′（x）=0，得x=1或x=5．因为4<x<6，所以x=5．

    因为x∈（4，5）时,<0，x∈（5，6）时，>0．

    所以函数f（x）在（4，5）内单调递减，在（5，6）内单调递增．

    因为f（x+4）= f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，

    所以函数f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．