Question

已知二次函数f（x）=ax²+x．
（1）设函数g（x）=（1﹣2t）x+t²﹣1，当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣2，4）内有两个相异的零点，求实数t的取值范围．
（2）当a＞0，求证对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有；
（3）若x∈[0，1]时，﹣1≤f（x）≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2﹣2t）x+t²﹣1．
由题意可得，即，
解得﹣2+＜t＜1．
故实数t的取值范围为（﹣2+，1）．
（2）∵
=，
故对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有．
（3）由题意可得x∈[0，1]时，﹣1≤f（x）≤1，即﹣1≤ax2+x≤1，
即x∈[0，1]时，ax²+x+1≥0且ax²+x﹣1≤0恒成立，
当x=0时，显然，ax²+x+1≥0且ax²+x﹣1≤0均成立．
当x∈（0，1]时，由ax²+x+1≥0恒成立，得，
而
在x∈（0，1]最大值为﹣2  ∴a≥﹣2．
当x∈（0，1]时，由ax²+x﹣1≤0恒成立 ，得，
而在x∈（0，1]最小值为0，
∴a≤0．
综上可得，﹣2≤a≤0． ．