Question

实数x，y满足

x-y+1≤0 x＞0 y≤2

．
（1）若z=

y

x

，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围．

Answer 1

分析：（1）z=

y

x

表示的是区域内的点与原点连线的斜率．故z=

y

x

的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值．
（2）z=x²+y²的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值．

解答：解：由

x-y+1≤0 x＞0 y≤2

．作出可行域如图阴影部分所示：
（1）z=

y

x

表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此

y

x

的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）．
而由

x-y+1=0 y=2

得B（1，2），∴kOB=

2

1

=2．
∴z_max不存在，z_min=2，∴z的取值范围是[2，+∞）．
（2）z=x²+y²表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方．
因此x²+y²的范围最小为|OA|²（取不到），最大为|OB|²．由

x-y+1=0 x=0

得A（0，1），
∴|OA|²=(

0+1

)2=1，|OB|²=(

12+22

)2=5．
∴z_max=5，z无最小值．故z的取值范围是（1，5]．

点评：本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：
（1）

x2+y2

表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；

(x-a)2+(y-b)2

表示点（x，y）与（a，b）的距离．
（2）

y

x

表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；

y-b

x-a

表示点（x，y）与（a，b）连线的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
（2）和或积为定值；
（3）等号能否成立，即一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．