Question

12．如图，半径为1的圆O的直径为AB，点P是圆O上一动点，角x的始边为射线OB，终边为射线OP，过点O作BP的垂线OE，垂足为E，延长OE交圆O于点F，过点F作OB的垂线FN，垂足为N，则|OE|+|NF|的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点，建立直角坐标系，则由题意求得P、B、E、F、N的坐标，从而求得|OE|和|NF|的解析式，再利用正弦函数的值域，求得|OE|+|NF|的最大值．

解答 解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点，建立直角坐标系，则由题意可得P（cosx，sinx），B（1，0）．
由于E为PB的中点，则点E（$\frac{cosx+1}{2}$，$\frac{sinx}{2}$），点F（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），N（cos$\frac{x}{2}$，0）．
∴|OE|=$\sqrt{\frac{{（cosx+1）}^{2}}{4}+\frac{{sin}^{2}x}{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+2cosx}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{4cos}^{2}\frac{x}{2}}$=cos$\frac{x}{2}$，|NF|=$\sqrt{{sin}^{2}\frac{x}{2}}$=sin$\frac{x}{2}$，
∴|OE|+|NF|=cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故|OE|+|NF|的最大值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式，辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．