Question

如图所示，在长方体中，，，是棱上一点，

（1）若为CC₁的中点，求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（2）是否存在这样的，使得平面ABM⊥平面A₁B₁M，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）。(2）

试题分析：（1）由于C₁D₁∥B₁A₁故根据异面直线所成角的定义可知∠MA₁B₁为异面直线A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可．
（Ⅱ）可根据题中条件设出点M的坐标，然后根据面面垂直，计算得出A₁B₁⊥BM，BM⊥B₁M然后再根据面面垂直的判定定理即可得证．
解：（1）∵C₁D₁∥A₁B₁
              ∴∠B₁A₁M即为直线A₁M和C₁D₁所成的角
∴。
(2）建立坐标系：,,,,
在平面上选择向量,,设法向量
由，解得，取，得
在平面上选择向量,,设法向量
由，解得，取，得,
由，，解得，所以
点评：解题的关键是要掌握异面直线所成角的定义（即将异面直线转化为相交直线所成的角）和面面垂直的判定定理。