Question

（2008•长宁区二模）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD₁与EC所成角的大小，并求此时点C到平面D₁DE的距离．

Answer 1

分析：（解法一）：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系则E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），由向量法能求出异面直线AD₁与EC所成角的大小．
设点C到平面DED₁的距离为h，S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，由VC-DED1=VD1-DEC，能求出点C到平面D₁DE的距离．
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，则∠D₁AE′的大小即为异面直线AD₁与EC所成角的大小．由AB=3，AE=2EB，知EB=1，DE′=1，因为AD=DD₁=1，所以AE′=D1E′=

2

，AD1=

2

，所以△AD₁E'为正三角形，由此能求出异面直线AD₁与EC所成角的大小．
设点C到平面DED₁的距离为h，S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，由VC-DED1=VD1-DEC，能求出点C到平面D₁DE的距离．

解答：解：（解法一）：（如图）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系．
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，AE=2，
则E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），---（2分）

AD1

=(-1，0，1)，

EC

=(-1，1，0)，
设

AD1

与

EC

的夹角为θ，
则cosθ=

1+0+0

2 • 2

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，…..（5分）
从而异面直线AD₁与EC所成角的大小为

π

3

．…..（6分）
设点C到平面DED₁的距离为h，
S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，（8分）．
S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，（10分）
由VC-DED1=VD1-DEC，
得

1

3

×

5

2

h=

1

3

×

3

2

×1，
∴h=

3 5

5

．…．（12分）
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，
则∠D₁AE′的大小即为异面直线AD₁与EC所成角的大小．（2分）
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，
∴DE′=1，
因为AD=DD₁=1，
所以AE′=D1E′=

2

，（4分）
而AD1=

2

，
所以△AD₁E'为正三角形，
∠D1AE/=

π

3

，
从而异面直线AD₁与EC所成角的大小为

π

3

．（6分）
设点C到平面DED₁的距离为h，
S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，（8分）．
S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，（10分）
由VC-DED1=VD1-DEC
得

1

3

×

5

2

h=

1

3

×

3

2

×1，
∴h=

3 5

5

．（12分）

点评：本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．