Question

设直线是曲线的一条切线，．

（Ⅰ）求切点坐标及的值；

（Ⅱ）当时，存在，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）切点，，切点， ．

（2）

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）设直线与曲线相切于点，

,

, 解得或,  3分

当时，，在曲线上，∴,

当时，，在曲线上，∴,

切点，，       5分

切点， ．       7分

(Ⅱ)解法一：∵，∴，

设，

若存在，则只要， 10分 

，

(ⅰ)若即，令，得，

，∴在上是增函数，

令，解得，在上是减函数，

，,

解得， 12分

(ⅱ)若即，令，解得，

， ∴在上是增函数，

 ，不等式无解，不存在， 13分

综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为． 14分

解法二：由得, 

(ⅰ)当时，，设

若存在，则只要， 10分

，

令 解得在上是增函数，

令，解得 在上是减函数，

，，     12分

（ⅱ）当时，不等式 不成立，

∴不存在，  13分

综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数的取值范围为． 14分

考点：导数的运用

点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，属于基础题。