Question

【题目】定义为n个正数的“均倒数”．已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）设数列的前n项和为，若4<对一切恒成立试求实数m的取值范围．

(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在正整数k=10使得对一切恒成立．

【解析】

(1)由题意首先确定数列的前n项和，然后利用前n项和与通项公式的关系求解数列的通项公式即可；

(2)首先裂项求和求得，然后结合前n项和的范围得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数m的取值范围；

(3)解法一：计算的值，确定取得最大值时的n的取值即可求得实数k的值；

解法二：由题意可知，满足题意时有，据此求解实数k的范围，结合k为正整数即可求得实数k的值.

(1)设数列的前n项和为，

由于数列{an}的前n项的“均倒数”为，

所以，

=，

当，

当，

（对当成立），

．

(2)==，

==，

<对一切恒成立，

，

解之得，

即m的取值范围是．

(3)解法一：=，

由于=，

时，时，

时取得最大值，

即存在正整数k=10使得对一切恒成立．

解法二：=，

假设存在正整数k使得则为数列中的最大项，

由得，

，

又，

k=10，

即存在正整数k=10使得对一切恒成立．