题目内容

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．
（1）求证：数列{
an2n
}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析：（1）由an=2an-1+2n，两边同时除以2n，即可证明
（2）由（1）可求
an
2n
，进而可求an
解答：证明：（1）∵an=2an-1+2n，两边同时除以2n，可得
an
2n
=
an-1
2n-1
+1
∴
an
2n
-
an-1
2n-1
=1，又
a1
21
=
1
2

∴数列{
an
2n
}是以
1
2
为首项，以1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知
an
2n
=
1
2
+n-1=n-
1
2

∴an=(n-
1
2
)•2n
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，解题的关键是在已知递推公式的两边同时除以2n．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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