Question

设函数f(x)=px-

q

x

-2lnx，且f(e)=qe-

p

e

-2，其中p≥0，e是自然对数的底数．
（1）求p与q的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．
（3）设g(x)=

2e

x

．若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，∵函数f(x)=px-

q

x

-2lnx，且f(e)=qe-

p

e

-2，∴（p-q）（e+

1

e

）=0
∵e+

1

e

≠0，∴p-q=0，∴p=q
（2）由（1）知，f(x)=px-

p

x

-2lnx，求导函数，可得f′（x）=

px2-2x+p

x2

当p=0时，f′（x）=-

2

x

＜0，所以f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数
当p＞0时，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，由于h（x）=px²-2x+p图象为开口向上的抛物线，所以只需h（x）在（0，+∞）内满足h（x）≥0恒成立
函数h（x）=px²-2x+p的对称轴为x=

1

p

∈(0，+∞)，∴h(x)min=p-

1

p

∴只需p-

1

p

≥0，∵p＞0，∴p≥1
综上所述，p的取值范围为{0}∪[1，+∞）
（3）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]
①当p=0时，由（2）知f（x）在[1，e]上是减函数，∴f（x）_min=f（1）=0，不合题意；
②当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，
又g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），
∵f（x）_max=f（e）=p（e-

1

e

）-2，g（x）_min=2，
∴p（e-

1

e

）-2＞2，∴p＞

4e

e2-1

；
③当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，x-

1

x

≥0，
由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2＜2，不合题意
综上，实数p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．