Question

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．（e是自然对数的底数）
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）由函数y=f（x）的导函数f′（x）是奇函数可根据奇函数的性质f′（-x）=-f′（x）得到a的值即可；
（2）先求出f′（x）因为a的取值决定了f′（x）的正负，所以分两种情况讨论a的取值范围即可得到函数单调区间即可．

解答：解：（1）f′(x)=

ex

ex+1

-a，
∵f'（x）是奇函数，
∴f′(-x)=

e-x-1

2(e-x+1)

=-f′(x)，于是a=

1

2

．
（2）f′(x)=

ex

ex+1

-a=

(1-a)ex-a

ex+1

，
①当a≥1时，恒有f'（x）＜0，∴f（x）为R上的单调减函数；
②当0＜a＜1时，由f'（x）＞0得（1-a）e^x-a＞0∴ex＞

a

1-a

∴x＞ln

a

1-a

，
∴当x∈(ln

a

1-a

，+∞)时，f（x）单调递增；当x∈(-∞，ln

a

1-a

)时，f（x）单调递减；
综上：当a≥1时，f（x）为R上的单调减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在(ln

a

1-a

，+∞)上单调递增；在(-∞，ln

a

1-a

)上单调递减．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算．