Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2sin2

B+C

2

-

1

2

cos2A=

7

4

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知结合三角形的内角和定理及二倍角公式进行化简可求cosA，即可求解A
（2）结合（1）中所求A及余弦定理由余弦定可得b，c之间的关系，然后结合基本不等式可求bc的范围，代入三角形的面积公式即可求解

解答：解：（1）由2sin2

B+C

2

-

1

2

cos2A=

7

4

及A+B+C=π，得
2[1-cos(B+C)]-2cos2A+1=

7

2

，…（3分）
即4（1+cosA）-4cos²A=5
∴4cos²A-4cosA+1=0，…（5分
∴cosA=

1

2

，A=

π

3

．                             …（7分）
（2）由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

，得b²+c²=bc+3，…（9分）
又∵b²+c²≥2bc，得bc≤3，…（12分）
所以S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

•3•

3

2

=

3 3

4

所以△ABC面积的最大值为

3 3

4

…（14分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、诱导公式、及余弦定理等知识在求解三角形中的综合应用，基本不等式的应用是求解面积最值的关键