Question

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2)，a1=5，bn=

an-1

2n

．
（Ⅰ）证明：{b_n}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设cn=

9

bnbn+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使Tn＞

1

4

(m2-5m)对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中an=2an-1+2n-1(n≥2)，bn=

an-1

2n

，化简可得b_n-b_n-1=1，进而根据等差数列的定义可得结论
（II）由（I）求出数列{a_n}的通项公式，进而利用错位相减法，可得答案．
（III）结合（I）的结论，求出数列{c_n}的通项公式，进而利用裂项相消法，求出数列{c_n}的前n项和T_n，进而求出m的值，

解答：解：（Ⅰ）证明：∵bn=

an-1

2n

=

2an-1+2n-2

2n

=

an-1+2n-1-1

2n-1

=

an-1-1

2n-1

+1=bn-1+1(n≥2)，
∴b_n-b_n-1=1（n≥2），
∴{b_n}是公差为1，首项为b1=

a1-1

2

=2的等差数列…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=2+（n-1）•1=n+1，
即

an-1

2n

=n+1，
∴an=(n+1)2n+1，
∴Sn=[2•2+3•22+4•23+…+(n+1)2n]+n，…（6分）
令Tn=2•2+3•22+…+n•2n-1+(n+1)2n，
∴2Tn=2•22+…+n•2n+(n+1)2n+1，
∴-Tn=2•2+1•22+…+1•2n-(n+1)2n+1=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)2n+1=4+2ⁿ⁺¹-4-n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n•2n+1，∴Sn=n•2n+1+n．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，Tn=9(

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

(n+1)(n+2)

)
=9(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=9(

1

2

-

1

n+2

)…（12分）
∴Tn≥

3

2

，
依题意有

3

2

＞

1

4

(m2-5m)，
解得-1＜m＜6，
故所求最大正整数m的值为5…（14分）

点评：本题考查的知识点是数列求和，数列的应用及等差关系的确定，其中（I）的关键是熟练掌握定义法求证等差数列的步骤，（II）（III）的关键是熟练掌握错位相减法和裂项相消法的适用范围及方法步骤．