Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

nan+1（n∈N^*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bk=

a1a3…a2k-1

a2a4…a2k

（k∈N^*）．
①证明：bn＜

1

2an+1

；
②求证：b1+b2+…bn＜

2an+1

-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知（n+1）a_n=na_n+1．若存在a_m=0（m＞1），可推出a_m-1=0，从而a₁=0，与a₁=1矛盾，所以a_n≠0．由（n+1）a_n=na_n+1得

an+1

an

=

n+1

n

，所以an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

a2

a1

•a1=n．
（Ⅱ）由4n²-1＜4n²，得（2n-1）（2n+1）＜4n²?（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1）．所以

2n-1

2n

＜

2n-1

2n+1

，从而能够证明
b1+b2+…bn＜

2an+1

-1．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=

1

2

nan+1-

1

2

(n-1)an，
得（n+1）a_n=na_n+1．
若存在a_m=0（m＞1），由ma_m-1=（m-1）a_m，m≠0，得a_m-1=0，
从而有a_m-2=0，，a₂=0，a₁=0，与a₁=1矛盾，所以a_n≠0．
从而由（n+1）a_n=na_n+1得

an+1

an

=

n+1

n

，
得an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

a2

a1

•a1=n．
（Ⅱ）证明：∵4n²-1＜4n²，
∴（2n-1）（2n+1）＜4n²?（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1）．
∴

2n-1

2n

＜

2n-1

2n+1

，
∴

1

2

•

3

4

•

5

6

••

2n-1

2n

＜

1

3

•

3

5

•

5

7

••

2n-1

2n+1

=

1

2n+1

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．