Question

边长为1的正三角形ABC和一半径为R的圆，若三角形和圆最多有6个公共点，则R的范围是（　　）

• A、(1，

  3

  6

  )
• B、(

  3

  6

  ，

  2 3

  3

  )
• C、(

  2 3

  3

  ，+∞)
• D、(

  3

  6

  ，

  3

  )

Answer 1

分析：根据题意可知，当圆的半径R大于内切圆半径，小于外接圆直径时，三角形与圆最多有6个交点，所以由正三角形的边长分别求出内切圆半径和外接圆半径即可得到R的范围．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
因为△ABC为正三角形，所以三角形的内心与外心重合，记作点O，
在直角△OBD中，∠OBD=30°，所以OD=

1

2

OB=

1

2

OA，
在直角△ABD中，由AB=1，BD=

1

2

，根据勾股定理得：
AD=

1-( 1 2 )2

=

3

2

，
所以OD=

1

3

AD=

3

6

，2OA=

4

3

AD=

2 3

3

，
则R的取值范围是（

3

6

，

2 3

3

）．
故选B

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法，掌握正三角形的性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．