Question

2．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，设数列{b_n}前n项和为G_n，求证：G_n$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．利用a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．
∴a₁=S₁=$\frac{3-1}{2}$=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
当n=1时上式也成立，
∴a_n=3n-2．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴设数列{b_n}前n项和为G_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}$$（1-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{1}{3}$，
∴G_n$＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列递推式的应用、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．