Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-p

x

．
（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；
（2）如果数列{a_n}满足a₁=3，an+1=[1+

1

n2(n+1)2

]an+

1

4n

，试证明：当n≥2时，4≤an＜4e

3

4

．

Answer 1

（1）函数f(x)=ln(1+x)-p

x

的定义域为[0，+∞），
f′(x)=

1

1+x

-

p

2 x

=

2 x -p(1+x)

2(1+x) x

．
依题意，2

x

-p(1+x)≤0恒成立，所以p≥(

2 x

1+x

)max，
由x≥0?1+x≥2

x

?

2 x

1+x

≤1，知(

2 x

1+x

)max=1，
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）．
（2）首先，由a₁=3，得a2=[1+

1

12×22

]×3+

1

4

=4，
而当a_n＞0时有an+1-an=

1

n2(n+1)2

an+

1

4n

＞0，∴a_n+1＞a_n，
所以，对n∈N^*（n≥2），都有a_n≥4．
再由an+1=[1+

1

n2(n+1)2

]an+

1

4n

及a_n≥4，
又得an+1≤[1+

1

n2(n+1)2

]an+

an

4n+1

=[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]an，
∴lnan+1≤ln{[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]an}=ln[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]+lnan，
∴lnan+1-lnan≤ln[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]．
由（1）知当p≥1时f（x）为减函数，取p=1，则f（x）=ln（1+x）-

x

，
当x＞0时f（x）＜f（0）=0，故ln（1+x）≤

x

（x＞0），
∴lnan+1-lnan≤ln[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]＜

1 n2(n+1)2 + 1 4n+1

＜

1

n(n+1)

+

1

2n+1

=

1

n

-

1

n+1

+

1

2n+1

，
∴lna3-lna2＜

1

2

-

1

3

+

1

23

，lna4-lna3＜

1

3

-

1

4

+

1

24

，…．，lnan-lnan-1＜

1

n-1

-

1

n

+

1

2n

，
将这n-2个式子相加得lnan-lna2＜

1

2

-

1

n

+

1

4

(1-

1

2n-2

)＜

3

4

，
∴

an

a2

＜e

3

4

，将a₂=4代入得an＜4e

3

4

，
故当n≥2时，4≤an＜4e

3

4

．