Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
（I）求证：DE是⊙O的切线；
（II）若=，求的值．

Answer 1

解：（I）连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC　　　　　（2分）
∴OD∥AE．又AE⊥DE，…．（3分）
∴DE⊥OD．而OD为半径，
∴DE是⊙O的切线 （5分）
（II）由（I）得OD∥AE，
∴=．
又==，（8分）
∴=，故= （10分）
分析：（I）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；
（II）先由（I）得OD∥AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案．
点评：考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．