Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[1，2]上的增函数”是“f（x）为[4，5]上的减函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：根据函数奇偶性和周期性的性质与单调性之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答：解：f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，若“f（x）在[1，2]上的为增函数，
则f（x）在[-2，-1]上的为减函数，
∵函数f（x）的周期是2，∴f（x）在[4，5]上的减函数正确．
若f（x）为[4，5]上的减函数，
∵函数f（x）的周期是2，
∴f（x）在[0，1]上的为减函数，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）在[-1，0]上的为增函数，
∴f（x）在[1，2]上的为增函数，正确．
∴“f（x）为[1，2]上的增函数”是“f（x）为[4，5]上的减函数”的充分必要条件．
故选：C．

点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性与单调性的应用，要求熟练掌握函数的性质的综合应用．