Question

（2012•东城区二模）已知抛物线C：x²=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M切线方程为y=kx-1，与抛物线解析式联立，消去y得关于x的一元二次方程，根据题意得到根的判别式的值为0，求出k的值，代入确定出A与B的坐标，设圆心P（0，a），由|PM|=|PB|，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标及半径，写出圆的标准方程即可；
（Ⅱ）设M（x₀，-1），由已知抛物线解析式变形得y=

x2

4

，求出导函数y′=

1

2

x，设出切点A与B坐标分别为A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），表示出切线MA与切线MB的方程，再由切线MA与MB过M，将M坐标分别代入得到两个关系式，x₁，x₂是方程-1=

1

2

x₀x-

1

4

x²的两实根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，再表示出两向量

MA

与

MB

，将表示出两根之和与两根之积代入计算

MA

•

MB

的值为0，即可得到以AB为直径的圆恒过点M．

解答：（Ⅰ）解：当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4；    
（Ⅱ）证明：设M（x₀，-1），由已知得y=

x2

4

，y′=

1

2

x，
设切点分别为A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
∴k_MA=

x1

2

，k_MB=

x2

2

，
切线MA的方程为y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，
切线MB的方程为y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂），即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，
又因为切线MA过点M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₁-

1

4

x₁²，①
又因为切线MB也过点M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₂-

1

4

x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=

1

2

x₀x-

1

4

x²的两实根，
由韦达定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4，
因为

MA

=（x₁-x₀，

x12

4

+1），

MB

=（x₂-x₀，

x22

4

+1），
所以

MA

•

MB

=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（

x12

4

+1）（

x22

4

+1）
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
将x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4代入，得

MA

•

MB

=0，
则以AB为直径的圆恒过点M．

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两函数图象的交点，韦达定理，平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，以及圆的切线方程，是一道综合性较强的试题．