Question

已知函数f(x)=2ax³-3ax²+1，(a∈R)，
(Ⅰ)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若任意给定的x₀∈[0，2]，在[0，2]上总存在两个不同的x_i(i=1，2)，使得f(x_i)=g(x₀)成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=6x²-6x=6x(x-1)，
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜1；
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间是[0，1]。
(Ⅱ)f′(x)=6ax²-6ax=6ax(x-1)，
①当a=0时，显然不可能；
②当a＞0时，

又因为当a＞0时，在[0，2]上是减函数，
对任意x∈[0，2]，，不合题意；
③当a＜0时，

又因为当a＜0时，在[0，2]上是增函数，
对任意x∈[0，2]，，
由题意可得，解得a＜-1；
综上，a的取值范围为(-∞，-1)。