Question

在1与2之间插入n个正数a₁,a₂,a₃,…,a_n,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b₁,b₂,b₃,…,b_n,使这n+2个数成等差数列.记A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求数列{A_n}和{B_n}的通项;

(2)当n≥7时,比较A_n与B_n的大小,并证明你的结论.

Answer 1

解：(1)∵1,a₁,a₂,a₃,…,a_n,2成等比数列,

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ.

∴A_n=.

∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n,2成等差数列,

∴b₁+b_n=1+2=3.

∴B_n=·n=n.

∴数列{A_n}的通项A_n=,数列{B_n}的通项B_n=n.

(2)∵A_n=,B_n=n,

∴A_n²=2ⁿ,B_n²=.

要比较A_n与B_n的大小,只需比较A_n²与B_n²的大小,也即比较当n≥7时,2ⁿ与的大小.

当n=7时,2ⁿ=128,×49,得知2ⁿ＞n².经验证,n=8,n=9时均有命题2ⁿ＞n²成立.猜想当n≥7时,有2ⁿ＞n²,用数学归纳法证明.

①当n=7时,2⁷=128＞×7²=,即不等式成立.

②假设当n=k时,不等式成立,即2^k＞k².

当n=k+1时,2^k+1=2·2^k＞2×k²=k²+k².

又∵当k≥7时,k²＞2k+1,

∴2^k+1＞k²+(2k+1)=k²+k+=(k+1)²,

即n=k+1时,2^k+1＞(k+1)²成立.

由①②知,对n≥7,n∈N^*时,2ⁿ＞n².