Question

已知函数f(x)=2ax+

b

x

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，求a，b的值；
（Ⅱ）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可得

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，可解得a，b的值；
（Ⅱ）由f′（1）=2，可求得b=2a-1，于是f′（x）=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立即可，对a分a=0，a＜0及a＞0三类讨论即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=2a-

b

x2

+

1

x

，…（2分）
由

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，…（4分）
可得

a=- 1 3 b= 1 3

．…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），…（7分）
因为f′（1）=2，所以b=2a-1．…（8分）
所以f′（x）=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

，…（9分）
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…（10分）
当a=0时，f′（x）=

x+1

x2

＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；  …（11分）
当a＜0时，令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=

2a-1

2a

=1-

1

2a

＞1，
此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；           …（12分）
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤

1

2

．…（13分）
综上所述，a的取值范围是a∈[0，

1

2

]．…（14分）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查函数的单调性与导数的关系，考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．