Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，．

　

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（II）设AB=AP．

　 （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；

　 （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由

Answer 1

解法一：

（I）因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，又

所以平面PAD。

又平面PAB，所以平面平面PAD。

（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系

A—xyz（如图）

 

在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则

在中，DE=，

设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）

由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，

（i）设平面PCD的法向量为，

由，，得取，得平面PCD的一个法向量，

又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得

解得（舍去，因为AD），所以

（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，

设G（0，m，0）（其中）

则，

由得，（2）

由（1）、（2）消去t，化简得（3）

由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，

使得点G到点P，C，D的距离都相等。

从而，在线段AD上不存在一个点G，

使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。

解法二：

（I）同解法一。

（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）

在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E，

则。

在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则

在中，DE=，

设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t），由AB+AD=4，得AD=4-t，

所以，

设平面PCD的法向量为，由，，得

 

取，得平面PCD的一个法向量，

又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得

解得（舍去，因为AD），所以

（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，

由GC=CD，得，

从而，即

设，

在中，

这与GB=GD矛盾。

所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，

从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。