Question

已知函数f(x)=2sin(

x

2

-

π

3

)+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值、最小值并求此时x的取值集合；
（Ⅲ）求函数y=f（x）的对称轴、对称中心．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数的周期公式直接加以计算，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）由正弦函数的图象与性质，令

x

2

-

π

3

=

π

2

+2kπ，得当x=

5π

3

+4kπ（k∈Z）时sin(

x

2

-

π

3

)=1，f（x）取得最大值为3．同理当x=-

π

3

+4kπ（k∈Z）时sin(

x

2

-

π

3

)=-1，f（x）取得最小值-1；
（III）根据正弦函数图象的对称轴方程和对称中心坐标的公式，解关于x的等式，即可得到曲线y=f（x）的对称轴方程为x=2kπ+

5π

3

（k∈Z），对称中心为（2kπ+

2π

3

，1）（k∈Z）．

解答：解：（I）∵f(x)=2sin(

x

2

-

π

3

)+1，ω=

1

2

，
∴函数f（x）的最小正周期是T=

2π

1 2

=4π；
（II）当sin(

x

2

-

π

3

)=1时，f（x）取得最大值，最大值为3，
此时

x

2

-

π

3

=

π

2

+2kπ，即x=

5π

3

+4kπ，（k∈Z）；
当sin(

x

2

-

π

3

)=-1时，f（x）取得最小值，最大值为-1，
此时

x

2

-

π

3

=-

π

2

+2kπ，即x=-

π

3

+4kπ，（k∈Z）
综上所述，f（x）的最大值为3，相应的x的取值集合为{x|x=

5π

3

+4kπ，（k∈Z）}
f（x）的最小大值为-1，相应的x的取值集合为{x|x=-

π

3

+4kπ，（k∈Z）}
（III）令

x

2

-

π

3

=kπ+

π

2

，解得：x=2kπ+

5π

3

，（k∈Z）
∴曲线y=f（x）的对称轴方程为x=2kπ+

5π

3

，（k∈Z）
令

x

2

-

π

3

=kπ，解得：x=2kπ+

2π

3

，（k∈Z）
∴曲线y=f（x）的对称中心为（2kπ+

2π

3

，1）（k∈Z）．

点评：本题考查了三角函数的周期性及其求法、正弦函数的对称性以及正弦函数的定义域和值域，属于中档题．抓住正弦函数的图象与性质是解决本题的关键．