Question

11．数列1$\frac{1}{2}$，3$\frac{1}{4}$，5$\frac{1}{8}$，…，（2n-1）+$\frac{1}{2n}$的前n项和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n²．

Answer 1

分析 通过S_n=[1+3+…+（2n-1）]+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）、利用分组法求和即得结论．

解答 解：依题意，S_n=[1+3+…+（2n-1）]+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{n[1+（2n-1）]}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n²，
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n²．

点评 本题考查数列的求和，利用分组法求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．