Question

已知函数f(x)=

x2+ax+b

x

(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求实数a、b的值； 
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：
①不等式f(x)+

k

2

＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据f（1）=f（4）求出b的值；再结合f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立求出a的值即可；
（Ⅱ）直接按照单调性的证明过程来证即可；
（Ⅲ）先结合第二问的结论知道函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4以及可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减；对于①；转化为f（x）_min＞-

k

2

；对于②转化为求函数的值域问题即可；最后把两个成立的范围相结合即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得1+a+b=

16+4a+b

4

，解得b=4．  …（1分）
由f(x)=

x2+ax+b

x

(x≠0)为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，
即

x2+ax+b

x

+

x2-ax+b

-x

=2a=0，所以a=0．  …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x+

4

x

．
任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，…（5分）
∵0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f（x）在区间（0，2]单调递减．  …（7分）
类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增．  …（8分）
（Ⅲ）对于条件①，由（Ⅱ）得函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若f(x)+

k

2

＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
则需f（x）_min＞-

k

2

，则4＞-

k

2

，
∴k＞-8；
对于条件②，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]上递增，在[-2，0）上递减，
又f（-6）=-

20

3

，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-

20

3

，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，则需-

20

3

≤k≤-4，
若同时满足条件①②，则需

k＞-8 - 20 3 ≤ k≤-4

．
所以：-

20

3

≤k≤-4．
故当-

20

3

≤k≤-4时，条件①②同时满足．

点评：本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合．解决第一问的关键在于利用奇函数的定义得到f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立求出a的值．