Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，都有点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．若数列{S_n+λn+

λ

2n

}为等差数列，则λ的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  2

• C．2
• D．-2

Answer 1

分析：利用通项a_n与其前n项和之间S_n之间的关系即可得出S_n，再利用等差数列的定义即可得出λ的值．

解答：解：由题意可得：2a_n+1+S_n-2=0，而a_n+1=S_n+1-S_n，
∴2（S_n+1-S_n）+S_n-2=0，可化为2（S_n+1-2）=S_n-2，
∵a₁=1，∴S₁-2=-1≠0，∴

Sn+1-2

Sn-2

=

1

2

，
∴数列{S_n-2}是以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴Sn-2=-(

1

2

)n-1，即S_n=2-

1

2n-1

．
∴Sn+λn+

λ

2n

=2-

1

2n-1

+λn+

λ

2n

=2+λn+

λ-2

2n

．
bn=2+λn+

λ-2

2n

，则b1=1+

3

2

λ，b2=

3

2

+

9

4

λ，b3=

7

4

+

25

8

λ．
∵b₁，b₂，b₃成等差数列，∴2b₂=b₁+b₃，即2(

3

2

+

9

4

λ)=1+

3

2

λ+

7

4

+

25

8

λ，
解得λ=2．
当λ=2时，S_n=2n+2，数列{S_n}是以4为首项，2为公差的等差数列．
故存在实数λ=2，使得数列{Sn+λn+

λ

2n

}成等差数列．

点评：熟练掌握等差数列的定义及关系an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

是解题的关键．