题目内容
已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x
（1）求f（x）的解析式
（2）画出函数f（x）的草图，根据图象写出函数单调区间．
解：（1）设x＜0，则-x＞0．由函数是奇函数且当x＞0时，f（x）=log2x 可得
f（-x）=log2 （-x）=-f（x），∴f（x）=-log2 （-x）=log2（
）．
故f（x）=
．
（2）函数f（x）的草图如图所示：
结合函数的图象可得，函数的单调增区间为（0，+∞），减区间为 （-∞，0）．
分析：（1）设x＜0，则-x＞0，利用函数是奇函数且当x＞0时，f（x）=log2x 求得 f（x）=log2（ ），从而求得f（x）的解析式．
（2）画出函数f（x）的草图，根据图象，数形结合写出函数单调区间．
点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的单调区间，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
f（-x）=log2 （-x）=-f（x），∴f（x）=-log2 （-x）=log2（
）．故f（x）=
．（2）函数f（x）的草图如图所示：
结合函数的图象可得，函数的单调增区间为（0，+∞），减区间为 （-∞，0）．
分析：（1）设x＜0，则-x＞0，利用函数是奇函数且当x＞0时，f（x）=log2x 求得 f（x）=log2（
），从而求得f（x）的解析式．（2）画出函数f（x）的草图，根据图象，数形结合写出函数单调区间．
点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的单调区间，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
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