Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA₁=2．
（1）求异面直线B₁C₁与AB所成角的大小；
（2）求B₁C₁与平面A₁BC的距离．

Answer 1

分析：（1）BC∥B₁C₁与 所以BC与AB所成角的大小等于异面直线B₁C₁与AB所成角的大小
（2）将B₁C₁与平面A₁BC的距离 转化成B₁到平面A₁BC的距离，过B₁在平面A₁B₁BA内作B₁H⊥A₁B，证出B₁H为B₁到平面面A₁BC的距离，在RT△A₁B₁B中 求解即可．

解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁与 所以BC与AB所成角的大小等于异面直线B₁C₁与AB所成角的大小．
由于∠ABC=90°，所以异面直线B₁C₁与AB所成角的大小为90°
（2）由于BC∥B₁C₁与，所以BC∥平面A₁BC，B₁到平面A₁BC的距离即为 B₁C₁与平面A₁BC的距离．
过B₁在平面A₁B₁BA内作B₁H⊥A₁B，由于在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，所以BC⊥AB，BC⊥A₁A，所以CB⊥面A₁B₁BA，
又BC?面A₁BC，∴面A₁BC⊥面A₁B₁BA，
根据面面垂直的性质定理，B₁H⊥面A₁BC，故B₁H为B₁到平面面A₁BC的距离．
在RT△A₁B₁B中，A₁B²=A₁B₁²+B₁B²=5，A₁B=

5

，
∴B₁H=

A1B1×BB1

A1B

=

2×1

5

=

2 5

5

所以B₁C₁与平面A₁BC的距离是

2 5

5

．

点评：本题考查了线面角，面面角的计算．考查空间想象能力、转化、计算能力．