Question

已知函数f(x)=

a

3

x3+

1

2

x2-(a-1)x+1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线6x+y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（Ⅱ）若a＞0，讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)=

a

3

x3+

1

2

x2-(a-1)x+1，
∴f′（x）=ax²+x-a+1，
f（2）=

8

3

a+2-2a+2+1=

2

3

a+5，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线6x+y+1=0平行，
∴f′（2）=4a+2-a+1=-6，
解得a=-3，∴f（2）=

2

3

×(-3)+5=3．
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：
y-3=-6（x-2），即6x+y-15=0．
（Ⅱ）f′（x）=ax2+x-a+1=（x+1）（ax-a+1）=a（x+1）（x-

a-1

a

），
若0＜a＜

1

2

，则

a-1

a

＜-1，
∴函数f（x）的增区间为（-∞，

a-1

a

）和（-1，+∞），减区间为（

a-1

a

，-1）；
若a=

1

2

，则f′（x）=

1

2

（x+1）2≥0，
∴函数f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
若a＞

1

2

，则

a-1

a

＞-1，
∴函数f（x）的增区间为（-∞，-1）和（

a-1

a

，+∞），减区间为（-1，

a-1

a

）．