Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1．已知数列{b_n}满足b_n-2=3log₃a_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1，用n-1代替n得a_n=2S_n-1+1 （n≥2），用两式相减的方法再化简，得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．得出{a_n}和的通项公式，代入b_n-2=3log₃a_n，即可得到{b_n}的通项为b_n=3n-1．
（Ⅱ）c_n表达式的形式是等差和等比对应项的积构成的，因此可以用错位相减法求{c_n}的前n项和T_n，即先将等式的两边都乘以等比数列的公比，再将得到的新式子与原式相减，就可以化为利用等比数列求和公式的方法解出这个和．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
两式相减，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴a_n=3^n-1．…（4分）
又∵b_n=3log₃a_n+2=3log₃3^n-1+2=3（n-1）+2=3n-1．
∴b_n=3n-1..…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得c_n=（3n-1）×3^n-1..…（8分）
∴T_n=2×1+5×3¹+8×3²+…+（3n-4）×3^n-2+（3n-1）×3^n-1，…（9分）
3T_n=2×3+5×3²+8×3³+…+（3n-4）×3^n-1+（3n-1）×3ⁿ，
两式相减，得：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=-

1

2

-

6n-5

2

×3n，
∴Tn=

1

4

+

6n-5

4

•3n…（13分）
应改为：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=-

5

2

-

6n-5

2

×3n，
∴Tn=

5

4

+

6n-5

4

•3n…（13分）

点评：此题考查已知数列的递推关系和利用因式分解求出数列的通项公式的知识点，属于中档题．准确运用等差、等比数列的通项与求和公式，利用错位相减法求和，是解决本题的关键．