Question

数列{a_n}的项是由1或0构成，且首项为1，在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个0，即数列{a_n}为：1，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，…，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃=

45

．

Answer 1

分析：分析出连续出现0的规律，由等差数列的前n项和求出k+1个1前所有0的个数，从而得到第k+1个1前所有项，求出满足k²+k≤2013的最大自然数k，则答案可求．

解答：解：连续出现0的个数为1，3，5，7，9，…2k-1，…成等差数列．
∴第k+1个1前所有0的个数为1+3+5+…+（2k-1）=

k[1+(2k-1)]

2

=k2
则第k+1个1前所有项为k²+k，
由k²+k≤2013，解得-

1

2

-

8053

2

≤k≤-

1

2

+

8053

2

，
∵k∈N^*，∴当k=44时，第45个1前共有1980项．
故S₂₀₁₃=45+33×0=45．
故答案为：45．

点评：本题考查了数列的求和，考查了等差数列的前n项和，关键在于发现规律，是中档题．