题目内容

已知在△ABC中，sin2A+sin2C=sin2B+sinA•sinC，H是△ABC的垂心，且满足
BC
•
BH
=8，则△ABC的面积S△ABC=（　　）
分析：利用余弦定理表示出cosB，再利用正弦定理化简已知等式，变形后代入求出cosB的值，确定出B的度数，利用平面向量的数量积运算法则以及锐角三角函数定义求出|
AB
|×|
BC
|的值，根据三角形面积公式表示出S，将各自的值代入计算即可求出三角形ABC面积．
解答：解：由正弦定理化简sin2A+sin2C=sin2B+sinA•sinC，得：a2+c2=b2+ac，即a2+c2-b2=ac，
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1
2
，
∵B为三角形内角，∴B=
π
3
，
∵
BC
•
BH
=|
BC
|×|
BH
|×cos∠CBH=|
BD
|×|
BH
|=
1
2
×|
AB
|×|
BC
|=8，
∴|
AB
|×|
BC
|=16，
则△ABC的面积S△ABC=
1
2
×|
AB
|×|
BC
|×sinB=4
3
．
故选C
点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
（2012•河北模拟）已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且
b
cosB
=
a
cosA
，a2b2cosC=a2+b2-c2，S△ABC=
3
2
．
（I）求证：△ABC为等腰三角形．
（II）求角A的值．
已知在△ABC中，S为△ABC的面积，若向量
p
=(4，a2+b2-c2)，
q
=(
3
，S)满足
p
∥
q
，则C=（　　）
已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
m
=(a，b)，
n
=(sinA，cosA)．
（1）若a=3，b=
3
，且
m
与
n
平行，求角A的大小；
（2）若|
m
|=
41
，c=5，cosC=
2
5
，求△ABC的面积S．
已知在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C所对的边长，r为内切圆的半径，则△ABC的面积S=
1
2
(a+b+c)•r，将此结论类比到空间，已知在四面体ABCD中，已知在四面体ABCD中，
S1，S2，S3，S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径
S1，S2，S3，S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径
，则
四面体ABCD的体积V=
1
3
(S1+S2+S3+S4)．r
四面体ABCD的体积V=
1
3
(S1+S2+S3+S4)．r
．
（2012•南宁模拟）已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且
b
cosB
=
a
cosA
，
CA
•
CB
=
sin2A+sin2B-sin2C
sinAsinB
，S△ABC=
3
2
  求角A的值．

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