Question

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

1+an

1-an

（n∈N⁺），则可得该数列的前2011项的乘积a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先由递推关系式，分析得到数列{a_n}的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．

解答：解：由递推关系式，得an+2=

1+an+1

1-an+1

=

1+ 1+an 1-an

1- 1+an 1-an

=- 

1

an

，
则an+4=-

1

an+2

=-

1

- 1 an

=an．
∴{a_n}是以4为循环的一个数列．
由计算，得a₁=2，a2=-3，a3=-

1

2

，a4=

1

3

，a₅=2，…
∴a₁a₂a₃a₄=1，
∴a₁•a₂…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=1×a₂₀₀₉•a₂₀₁₀•a₂₀₁₁=a₁•a₂•a₃=3．
故答案是3

点评：递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．