Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂．P是椭圆上一点，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若0°＜∠PF₁F₂＜60°则该椭圆的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得 PF₂=F₁F₂=2c，再由椭圆的定义可得 PF₁ =2a-2c．设∠PF₂F₁ =θ，则

π

3

＜θ＜π，故-1＜cosθ＜

1

2

，再由cosθ=

2ac+c2-a2

2c2

，求得e的范围．

解答：解：由题意可得 PF₂=F₁F₂=2c，再由椭圆的定义可得 PF₁ =2a-PF₂=2a-2c．
设∠PF₂F₁ =θ，则  

π

3

＜θ＜π，∴-1＜cosθ＜

1

2

．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得  cosθ=

2ac+c2-a2

2c2

，由-1＜cosθ 可得 3e²+2e-1＞0，e＞

1

3

．
由cosθ＜

1

2

 可得 2ac＜a²，e=

c

a

＜

1

2

．综上，

1

3

＜e＜

1

2

，
故答案为 （

1

3

，

1

2

）．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cosθ=

2ac+c2-a2

2c2

，且-1＜cosθ＜

1

2

，是解题的关键．