Question

如图，四棱锥P―ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AE⊥PD，垂足为E.

   （Ⅰ）求证：BE⊥PD；

   （Ⅱ）求直线AC与平面EAB所成角的大小.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∵AB⊥AD,PAAD=A

∴PA⊥平面PAD，

又PD平面PBD，

∴AB⊥PD，

又AE⊥PD，ABAE=A，

∴PD⊥平面ABE，

∵BE平面ABE，

∴BE⊥PD.

   （Ⅱ）解法1：

∵CD//AB，CD平面ABE，AB平面ABE，

∴CD//平面ABE.

由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABE，则点C到平面ABE的距离等于DE的长度.

在Rt△PAD中，PA=3，AD=1，PD=

∴DE=

设直线AC与平面EAB所成角的大小为，又AC=，

∴

解法2：分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A―xyz，则

由（Ⅰ）知，PD⊥平面ABE，设直线AC与平面EAB所成角的大小为，则

∴