Question

某教育机构进行课程促销活动，促销方案是：学员每一次性购买60小时，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为

1

5

，若中奖，则该教育机构返还学员1000元，某学员一次性购买了180h的课程，得到3张奖券，该学员购买课时的实际支出为ξ（元）．（每课时100元）
（1）求ξ的所有可能取值；
（2）求ξ的分布列和数学期望E_ξ．

Answer 1

分析：（1）设随机变量η表示中奖次数，则η的所有可能取值为0，1，2，3．当η=0时，ξ=18000；当η=1时，ξ=18000-1000=17000；…依此类推，故ξ的所有可能取值为15000，16000，17000，18000；
（2）由题意可知：η～B(3，

1

5

)，则P（η=k）=

C

k 3

(

1

5

)k(

4

5

)3-k（k=0，1，2，3）．据此即可得出ξ的分布列及其数学期望．

解答：解：（1）设随机变量η表示中奖次数，则η的所有可能取值为0，1，2，3．当η=0时，ξ=18000；当η=1时，ξ=18000-1000=17000；当η=2时，ξ=18000-2000=16000；当η=3时，ξ=18000-3000=15000．故ξ的所有可能取值为15000，16000，17000，18000；
（2）由题意可知：η～B(3，

1

5

)，则P（η=k）=

C

k 3

(

1

5

)k(

4

5

)3-k（k=0，1，2，3）．
∴P（ξ=18000）=P（η=0）=(

4

5

)3=

64

125

；P（ξ=17000）=P（η=1）=

C

1 3

(

1

5

)1×(

4

5

)2=

48

125

，P（ξ=16000）=P（η=2）=

C

2 3

(

1

5

)2×

4

5

=

12

125

，P（ξ=15000）=P（η=3）=

C

3 3

×(

1

5

)3=

1

125

．
故其分布列为
故Eξ=18000×

64

125

+17000×

48

125

+16000×

12

125

+15000×

1

125

=17400．

点评：熟练掌握二项分布及其数学期望是解题的关键．